Niech $$ X = m + \ epsilon $$ gdzie $ m \ sim N (\ theta, s ^ 2) $ i $ \ epsilon \ sim N (0, \sigma ^ 2) $ i są niezależne.

Następnie $ X | m $ i $ m $ są zgodne z rozkładami określonymi w pytaniu.

$ E (X) = E (m) = \ theta $

$ Var (X) = Var (m) + Var (\ epsilon) = s ^ 2 + \ sigma ^ 2 $

Zgodnie z „Suma zmiennych losowych po rozkładzie normalnym następuje po rozkładzie normalnym”, a rozkład normalny jest określony przez średnią i wariancję, mamy

$$ X \ sim N (\ theta, s ^ 2 + \ sigma ^ 2) $$

Twoja intuicja jest poprawna - krańcowy rozkład normalnej zmiennej losowej z normalną średnią jest rzeczywiście normalny. Aby to zobaczyć, najpierw przeformułowaliśmy rozkład połączenia jako iloczyn normalnych gęstości, uzupełniając kwadrat:

$$ \ begin {equation} \ begin {aligned} f (x, m) & = f (x | m) f (m) \\ [10 pkt] & = \ frac {1} {2 \ pi \ sigma s} \ cdot \ exp \ Big (- \ frac {1} {2} \ Big [\ Big (\ frac {xm} {\ sigma} \ Big) ^ 2 + \ Big (\ frac {m- \ theta} {s} \ Big) ^ 2 \ Big] \ Big) \\ [10pt] & = \ frac {1} {2 \ pi \ sigma s} \ cdot \ exp \ Big (- \ frac {1} {2} \ Big [\ Big (\ frac {1} {\ sigma ^ 2} + \ frac {1} {s ^ 2} \ Big) m ^ 2 -2 \ Big (\ frac {x} {\ sigma ^ 2} + \ frac {\ theta} {s ^ 2} \ Big) m + \ Big (\ frac {x ^ 2} {\ sigma ^ 2} + \ frac {\ theta ^ 2} {s ^ 2} \ Big) \ Big] \ Big) \\ [10pt] & = \ frac {1} {2 \ pi \ sigma s} \ cdot \ exp \ Big (- \ frac {1} {2 \ sigma ^ 2 s ^ 2} \ Big [(s ^ 2 + \ sigma ^ 2 ) m ^ 2 -2 (xs ^ 2 + \ theta \ sigma ^ 2) m + (x ^ 2 s ^ 2 + \ theta ^ 2 \ sigma ^ 2) \ Big] \ Big) \\ [10pt] & = \ frac {1} {2 \ pi \ sigma s} \ cdot \ exp \ Big (- \ frac {s ^ 2 + \ sigma ^ 2} {2 \ sigma ^ 2 s ^ 2} \ Big [m ^ 2 -2 \ cdot \ frac {xs ^ 2 + \ theta \ sigma ^ 2} {s ^ 2 + \ sigma ^ 2} \ cdot m + \ frac {x ^ 2 s ^ 2 + \ theta ^ 2 \ sigma ^ 2} {s ^ 2 + \ sigma ^ 2} \ Duży] \ Duży) \\ [10 pkt] & = \ frac {1} {2 \ pi \ sigma s} \ cdot \ exp \ Big (- \ frac {s ^ 2 + \ sigma ^ 2} {2 \ sigma ^ 2 s ^ 2} \ Big (m - \ frac {xs ^ 2 + \ theta \ sigma ^ 2} {s ^ 2 + \ sigma ^ 2} \ Big) ^ 2 \ Big) \\ [6pt] & \ quad \ quad \ quad \ text {} \ times \ exp \ Big (\ frac {(xs ^ 2 + \ theta \ sigma ^ 2) ^ 2} {2 \ sigma ^ 2 s ^ 2 (s ^ 2 + \ sigma ^ 2)} - \ frac {x ^ 2 s ^ 2 + \ theta ^ 2 \ sigma ^ 2} {2 \ sigma ^ 2 s ^ 2} \ Big) \\ [10pt] & = \ frac {1} {2 \ pi \ sigma s} \ cdot \ exp \ Big (- \ frac {s ^ 2 + \ sigma ^ 2} {2 \ sigma ^ 2 s ^ 2} \ Big (m - \ frac {xs ^ 2 + \ theta \ sigma ^ 2} {s ^ 2 + \ sigma ^ 2} \ Big) ^ 2 \ Big) \ cdot \ exp \ Big (- \ frac {1} {2} \ frac {(x- \ theta) ^ 2} {s ^ 2 + \ sigma ^ 2} \ Big) \\ [10 pkt] & = \ sqrt {\ frac {s ^ 2 + \ sigma ^ 2} {2 \ pi \ sigma ^ 2 s ^ 2}} \ cdot \ exp \ Big (- \ frac {s ^ 2 + \ sigma ^ 2} {2 \ sigma ^ 2 s ^ 2} \ Big (m - \ frac {xs ^ 2 + \ theta \ sigma ^ 2} {s ^ 2 + \ sigma ^ 2} \ Big) ^ 2 \ Big) \\ [ 6pt] & \ quad \ times \ sqrt {\ frac {1} {2 \ pi (s ^ 2 + \ sigma ^ 2)}} \ cdot \ exp \ Big (- \ frac {1} {2} \ frac {(x- \ theta) ^ 2} {s ^ 2 + \ sigma ^ 2} \ Big) \\ [10pt] & = \ text {N} \ Big (m \ Big | \ frac {xs ^ 2 + \ theta \ sigma ^ 2} {s ^ 2 + \ sigma ^ 2}, \ frac {s ^ 2 \ sigma ^ 2}{s ^ 2 + \ sigma ^ 2} \ Big) \ cdot \ text {N} (x | \ theta, s ^ 2 + \ sigma ^ 2). \ end {aligned} \ end {equation} $$

Następnie integrujemy $ m $ , aby uzyskać gęstość krańcową $ f (x) = \ text {N}(x | \ theta, s ^ 2 + \ sigma ^ 2) $ .Z tego ćwiczenia widzimy, że $ X \ sim \ text {N} (\ theta, s ^ 2 + \ sigma ^ 2) $ .

Oto rozwiązanie wykorzystujące funkcje generujące momenty, zgodnie z sugestią @SecretAgentMan, które również wiąże się z bardzo zręczną odpowiedzią udzieloną przez @ user158565. Jeśli chcesz, możesz to potraktować jako (zbyt) rygorystyczne uzasadnienie dekompozycji dostarczone przez @ user158565.

Niech $ M \ sim N (\ theta, s ^ ​​2) $ i $ X | M \ sim N (M, \ sigma ^ 2) $ . Zostajemy poproszeni o znalezienie bezwarunkowej dystrybucji $ X $ . W tym celu zdefiniuj $ \ varepsilon \ equiv X - M $ . Pokazujemy, że $ \ varepsilon \ sim N (0, \ sigma ^ 2) $ , obliczając jego funkcję generującą moment (mgf). Mamy \ begin {align *} \ mathbb {E} \ left [e ^ {t \ varepsilon} \ right] & = \ mathbb {E} \ left [\ exp \ left \ {t (XM) \ right \} \ right] = \ mathbb {E } \ left [\ mathbb {E} \ left (\ left. e ^ {tX} e ^ {- tM} \ right | M \ right) \ right] \\ & = \ mathbb {E} \ left [e ^ {- tM} \ mathbb {E} \ left (\ left. E ^ {tX} \ right | M \ right) \ right] = \ mathbb {E} \ left [e ^ {- tM} \ exp \ left \ {tM + \ frac {1} {2} \ sigma ^ 2 t ^ 2 \ right \} \ right] \\ & = \ mathbb {E} \ left [\ exp \ left \ {\ frac {1} {2} \ sigma ^ 2 t ^ 2 \ right \} \ right] \ end {align *} używając iterowanych oczekiwań i faktu, że $ X | M $ jest zwykłą zmienną losową o średniej $ M $ i wariancja $ \ sigma ^ 2 $ , tak że jej funkcją generującą moment jest $ \ exp \ left \ {tM + \ frac {1} {2} \ sigma ^ 2 t ^ 2 \ right \} $ . Rozpoznajemy $ \ mathbb {E} [e ^ {t \ varepsilon}] $ jako mgf normalnej zmiennej losowej, stąd $ \ varepsilon \ sim N (0, \ sigma ^ 2) $ . Następnie pokazujemy, że $ M $ i $ \ varepsilon $ są niezależne, pokazując, że ich łączne mgf jest równe iloczyn odpowiednich krańcowych mgfs. Ponownie używając iterowanych oczekiwań i mgf z $ X | M $ , mamy \ begin {align *} \ mathbb {E} \ left [\ exp \ left \ {t_1 M + t_2 \ varepsilon \ right \} \ right] & = \ mathbb {E} \ left [\ exp \ left \ {t_1 M + t_2 (X -M) \ right \} \ right] = \ mathbb {E} \ left [\ exp \ left \ {(t_1 - t_2) M + t_2 X \ right \} \ right] \\ & = \ mathbb {E} \ left [\ exp \ left \ {(t_1 - t_2) M \ right \} \ mathbb {E} \ left (\ left. E ^ {t_2 X} \ right | M \ right) \dobrze]\\ & = \ mathbb {E} \ left [\ exp \ left \ {(t_1 - t_2) M \ right \} \ exp \ left \ {t_2 M + \ frac {1} {2} \ sigma ^ 2 t_2 ^ 2 \ right \} \ right] \\ & = \ mathbb {E} \ left [\ exp \ left \ {t_1 M + \ frac {1} {2} \ sigma ^ 2 t_2 ^ 2 \ right \} \ right] \\ & = \ mathbb {E} \ left [e ^ {t_1 M} \ right] \ exp \ left \ {\ frac {1} {2} \ sigma ^ 2 t_2 ^ 2 \ right \} \\ & = \ mathbb {E} \ left [e ^ {t_1 M} \ right] \ mathbb {E} \ left [e ^ {t_2 \ varepsilon} \ right] \ end {align *} jak twierdzono. Pokazaliśmy, że $ X = M + \ varepsilon $ , gdzie $ \ varepsilon \ sim N (0, \ sigma ^ 2 ) $ niezależnie od $ M \ sim N (\ theta, s ^ ​​2) $ . Wynika z tego, że $ X \ sim N (\ theta, s ^ ​​2 + \ sigma ^ 2) $ .

W końcu znalazłem łatwiejsze rozwiązanie mojego problemu przez MGF, bez zbyt wielu obliczeń.

Załóżmy, że $$ X_1, X_2, ... X_n $$ są zgodne z określonym prawem

MGF tych zmiennych to $$ M (t_1, t_2, ..., t_n) = E [\ exp (t_1X_1 + t_2X_2 + ... + t_nX_n)] $$

W podobny sposób możemy definiować momenty w takim podejściu warunkowym:

$$ E [X | M] = ∫xf (x | M) dx. $$

Korzystając z tego, możemy udowodnić, że: $$ X \ sim N (\ theta, s ^ 2 + \ sigma ^ 2) $$