Stała normalizująca w części tylnej jest marginalną gęstością próbki w modelu bayesowskim.
Pisząc późniejszą gęstość jako $$ p (\ theta | D) = \ frac {\ overbrace {p (D | \ theta)} ^ \ text {likelihood} \ overbrace {p (\ theta)} ^ \ text {prior}} {\ underbrace {\ int p (D | \ theta) p (\ theta) \, \ text {d} \ theta} _ \ text {marginal}} $$
[który niestety używa tego samego symbolu $ p (\ cdot) $ i ma różne znaczenia], ta gęstość jest uzależniona od $ D $ z
$$ \ int p (D | \ theta) p (\ theta) \, \ text {d} \ theta = \ mathfrak e (D) $$
będąca gęstością graniczną próbki $ D $ . Oczywiście pod warunkiem realizacji $ D $ , $ \ mathfrak e (D) $ jest stała, podczas gdy $ D $ jest różne, podobnie jak $ \ mathfrak e (D) $ . W kategoriach probabilistycznych
$$ p (\ theta | D) \ mathfrak e (D) = p (D | \ theta) p (\ theta) $$
to łączna gęstość dystrybucji (losowej) pary $ (\ theta, D) $ w modelu bayesowskim [gdzie oba $ D $ i $ \ theta $ to zmienne losowe].
Statystyczne znaczenie $ \ mathfrak e (D) $ jest jednym z „dowodów” (lub „wcześniejszych prognoz” lub „marginalnych prawdopodobieństw”) dotyczących zakładany model $ p (D | \ theta) $ . Jak ładnie wskazał Ilmari Karonen, jest to gęstość próbki przed jej obserwacją i jedyna informacja o parametrze $ \ theta $ dostarczona przez poprzednią dystrybucję . Oznacza to, że próbka $ D $ jest uzyskiwana poprzez najpierw wygenerowanie wartości parametru $ \ theta $ z wcześniej, a następnie wygenerowanie próbki $ D $ w zależności od realizacji $ \ theta $ .
Biorąc średnią $ p (D | \ theta) $ z wartości $ \ theta $ span>, ważony poprzednim $ p (\ theta) $ , daje wartość liczbową, która może być użyta do porównania tego modelu [w statystycznym sensie rodziny sparametryzowanych rozkładów z nieznanym parametrem] z innymi modelami, tj. innymi rodzinami sparametryzowanych rozkładów z nieznanym parametrem. Współczynnik Bayesa to stosunek takich dowodów.
Na przykład, jeśli $ D $ składa się z jednej uwagi, powiedz $ x = 2.13 $ span >, a jeśli ktoś chce porównać Model 1, model normalny (dystrybucyjny), $ X \ sim \ mathcal N (\ theta, 1) $ , z $ \ theta $ nieznany, w Modelu 2, model wykładniczy (rozkład), $ X \ sim \ mathcal E (\ lambda) $ , przy nieznanym $ \ lambda $ , współczynnik Bayesa wyprowadzi oba dowody
$$ \ mathfrak e_1 (x) = \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} \ frac {\ exp \ {- (x- \ theta) ^ 2/2\}} {\ sqrt {2 \ pi}} \ text {d} \ pi_1 (\ theta) $$
i $$ \ mathfrak e_2 (x) = \ int_ {0} ^ {+ \ infty} \ lambda \ exp \ {- x \ lambda \} \ text {d} \ pi_2(\ lambda) $$
Aby skonstruować takie dowody, należy ustawić oba priorytety $ \ pi_1 (\ cdot) $ i $ \ pi_2 (\ cdot)$ .Dla przykładu, powiedzmy
$$ \ pi_1 (\ theta) = \ frac {\ exp \ {- \ theta ^ 2/2 \}} {\ sqrt {2 \ pi}} \ quad \ text {i} \ quad \ pi_2 (\ lambda) = e ^ {- \ lambda} $$
Następnie
$$ \ mathfrak e_1 (x) = \ frac {\ exp \ {- (x- \ theta) ^ 2/4 \}} {\ sqrt {4 \ pi}} \quad \ text {and} \ quad \ mathfrak e_2 (x) = \ frac {1} {1 + x} $$
prowadzący
$$ \ mathfrak e_1 (2.13) = 0,091 \ quad \ text {and} \ quad \ mathfrak e_2 (x) = 0,32 $$
co daje pewną przewagę Modelowi 2, wykładniczemu modelowi dystrybucji.