T Ten diagram Venna przedstawia sytuację, w której szansa na wzajemne przecięcie się wynosi zero:

From $ \ Pr (E \ cap F) = 1/3 $ wnioskujemy, że całe to prawdopodobieństwo leży w nakładaniu się $ E $ i $ F $ dyski, ale nie we wzajemnym nakładaniu się wszystkich trzech dysków. To pozwala nam zaktualizować diagram:

Stosując to samo rozumowanie do $ \ Pr (F \ cap G) = \ Pr (E \ cap G) = 1/3, $ otrzymujemy Venn diagram wyświetlający wszystkie informacje w pytaniu:

Aksjomat całkowitego prawdopodobieństwa potwierdza sumę wszystkich prawdopodobieństw (w tym prawdopodobieństwo uzupełnienia $ E \ cup F \ cup G, $ pokazany w lewym dolnym rogu) wynosi 1 USD

Jeszcze bardziej podstawowy aksjomat prawdopodobieństwa stwierdza, że ​​wszystkie prawdopodobieństwa muszą być nieujemne. Ale ponieważ 1/3 + 1/3 + 1/3 + 0 = 1, $ pojawiło się już całe możliwe prawdopodobieństwo. Pozostałe prawdopodobieństwa musi wynosić zero, co oznacza obraz można wypełnić tylko w ten sposób:

Wreszcie trzeci aksjomat (ten sam, który został użyty w drugim kroku wypełniania diagramu Venna) stwierdza, że ​​prawdopodobieństwo $ E $ jest równe sumie prawdopodobieństwa jego czterech części, ponieważ są rozłączne. Zatem zaczynając od centralnego prawdopodobieństwa i poruszając się w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara po dysku, który przedstawia $ E, $ span >

$$ \ Pr (E) = 0 + 1/3 + 0 + 1/3 = 2/3. $$

One morał, o którym warto pamiętać:

Rysuj diagramy Venna w pełnej ogólności, tak aby pokazywały wszystkie możliwe przecięcia zbiorów, nawet jeśli wiesz, że niektóre z prawdopodobieństw wynoszą zero.

Ułatwia to systematyczne śledzenie wszystkich informacji.(Jest również bardziej dokładny koncepcyjnie, ponieważ zbiory prawdopodobieństwa zero nie muszą być niepuste!)

Jeśli spróbujesz wypełnić diagram Venna, nie możesz umieścić niezerowych wpisów wewnątrz regionów innych niż reprezentowane przez przecięcia parami.Same utworzą przestrzeń próbki, co oznacza $$ \ mathbb P (E) = \ mathbb P (E \ cap F) + \ mathbb P (E \ cap G) = 2/3 $$

Odpowiedź na pytanie „Czy potrafisz określić $ P (E) $ ?” jest Yes.

Biorąc pod uwagę zdarzenia $ E, F, G $ zdefiniowane w przestrzeni próbnej $ \ Omega $ , wiemy to \ begin {align} &E \ czapka F \ czapka G \\ &E \ czapka F \ czapka G ^ c \\ &E \ cap F ^ c \ cap G \\ &E \ cap F ^ c \ cap G ^ c \\ &E ^ c \ cap F \ cap G \\ &E ^ c \ cap F \ cap G ^ c \\ &E ^ c \ cap F ^ c \ cap G \\ &E ^ c \ cap F ^ c \ cap G ^ c \\ \ end {align} to $ 8 $ wzajemnie wykluczające się zdarzenia, których związek to $ \ Omega $ . Zatem suma prawdopodobieństw tych 8 $ zdarzeń wynosi 1 $ . Teraz powiedziano nam, że $ E, F, G $ nie może występować jednocześnie, to znaczy $ E \ cap F \ cap G = \ emptyset $ i tak $ P (E \ cap F \ cap G) = 0 $ . Powiedziano nam również, że \ begin {align} P (E \ cap F) & = P (E \ cap F \ cap G) + P (E \ cap F \ cap G ^ c) = \ frac 13 \\ P (E \ cap G) & = P (E \ cap F \ cap G) + P (E \ cap F ^ c \ cap G) = \ frac 13 \\ P (F \ cap G) & = P (E \ cap F \ cap G) + P (E ^ c \ cap F \ cap G) = \ frac 13 \ end {align} gdzie możemy czuć się swobodnie, jeśli chodzi o sumę pośrodku każdego równania, rozważając fakt, że prawdopodobieństwo zjednoczenia dwóch wzajemnie wykluczających się zdarzeń jest sumą prawdopodobieństw tych dwóch zdarzeń. Ponieważ $ P (E \ cap F \ cap G) = 0 $ , wnioskujemy, że \ begin {align} P (E \ cap F) & = P (E \ cap F \ cap G ^ c) = \ frac 13 \\ P (E \ cap G) & = P (E \ cap F ^ c \ cap G) = \ frac 13 \\ P (F \ cap G) & = P (E ^ c \ cap F \ cap G) = \ frac 13 \ end {align}

Jednak spośród 8 USD wymienionych powyżej wzajemnie wykluczających się zdarzeń, których związek to $ \ Omega $ ,zidentyfikowaliśmy trzy zdarzenia, których prawdopodobieństwa sumują się do 1 $ , a więc pozostałe zdarzenia $ 5 $ (jedno zczyli $ E \ cap F \ cap G $ ) musi mieć prawdopodobieństwo $ 0 $ .W konsekwencji, \ begin {align} P (E) & = P (E \ cap F \ cap G) + P (E \ cap F \ cap G ^ c) + P (E \ capF ^ c \ cap G) + P (E \ cap F ^ c \ cap G ^ c) \\ & = 0 + \ frac 13 + \ frac 13 + 0 \\ & = \ frac 23 \ end {align} Poprzez symetrię (lub przez brutalne powtórzenie powyższych argumentów mutatis mutandis ), możemy stwierdzić, że $ E, F, G $ all mają prawdopodobieństwo $ \ frac 23 $ .

Czy możemy o tym myśleć w ten sposób?

P (E ∩ F) = P (F ∩ G) = P (E ∩ G) = 1/3

P (E ∩ F) + P (F ∩ G) + P (E ∩ G) = 1

Oznacza to, że prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia E samo w sobie wynosi zero, co oznacza, że może się zdarzyć tylko w przypadku F lub G i nie może się zdarzyć w obu.

P (E) = P (E ∩ F) + P (E ∩ G) = 1/3 + 1/3 = 2/3

Ponieważ zdarzenia $ (E, F) $ , $ (E, G) $ $ (F, G) $ wykluczają się wzajemnie i sumując do jednego możemy użyć prawa całkowitego prawdopodobieństwa: $$ P (E) = P (E, F) + P (E, G) = \ tfrac {2} {3} $$ Ponieważ $ P (E \ mid E, F) P (E, F) = P (E, F) $ , to samo dotyczy $ E, G $ i $ P (E \ mid F, G) = 0 $ .