Współczynnik F jest statystyką. Jeśli hipoteza zerowa braku różnic między grupami jest prawdziwa, to oczekiwana wartość licznika i mianownika współczynnika F będzie równa. W konsekwencji oczekiwana wartość współczynnika F, gdy hipoteza zerowa jest prawdziwa, jest również bliska jedności (w rzeczywistości nie jest to dokładnie jeden, ze względu na właściwości oczekiwanych wartości współczynników).

Gdy wartość null hipoteza jest fałszywa i między średnimi występują różnice grupowe, wartość oczekiwana licznika będzie większa od mianownika, w związku z czym wartość oczekiwana współczynnika F będzie większa niż w przypadku hipotezy zerowej, a także z większym prawdopodobieństwem będzie większa niż jeden.

Jednak chodzi o to, że zarówno licznik, jak i mianownik są zmiennymi losowymi, podobnie jak współczynnik F. Współczynnik F jest pobierany z rozkładu. Jeśli przyjmiemy, że hipoteza zerowa jest prawdziwa, otrzymamy jeden rozkład, a jeśli przyjmiemy, że jest fałszywy, przy różnych założeniach dotyczących wielkości efektu, wielkości próby itd., Otrzymamy inny rozkład. Następnie wykonujemy badanie i otrzymujemy wartość F. Gdy hipoteza zerowa jest fałszywa, nadal można uzyskać współczynnik F mniejszy niż jeden. Im większy jest rozmiar efektu populacyjnego (w połączeniu z rozmiarem próby), tym bardziej F dystrybucja przesunie się w prawo, a prawdopodobieństwo, że otrzymamy wartość mniejszą niż jeden, jest mniejsze.

Poniższa grafika wyodrębniona z G-Power3 demonstruje różne koncepcje Rozkład czerwony to rozkład F, gdy H0 jest prawdą. Rozkład niebieski to rozkład F, gdy H0 jest fałszywe przy różnych założeniach. Zauważ, że rozkład niebieski zawiera wartości mniejsze niż jeden, ale są one bardzo mało prawdopodobne. / p>

Twoje pytanie w tytule jest interesującym pytaniem, które przyszło mi dzisiaj do głowy. Chcę tylko dodać poprawkę. Współczynnik F wynosi: $$ \ frac {MS_ {treatment}} {MS_ {residual}} = \ frac {\ frac {SS_ {treatment}} {t-1}} {\ frac {SS_ {residual}} { t (r-1)}} $$ To, co napisałeś, to $$ \ frac {E (MS_ {treatment})} {E (MS_ {residual})} $$ Podczas gdy pierwsza frakcja może być mniejsze niż 1, druga część nie może być mniejsza niż 1. Ale to nie jest problem, ponieważ jest to iloraz oczekiwań.

Zwróć uwagę, że chociaż wartości statystyki F mniejsze niż 1 mogą wystąpić przypadkowo, gdy hipoteza zerowa jest prawdziwa (lub prawie prawdziwa), jak wyjaśniali inni, wartości bliskie 0 mogą wskazywać na naruszenie założeń, od których zależy ANOVA. Niektórzy analitycy będą patrzeć na obszar po lewej stronie statystyki w rozkładzie F jako na naruszenie założeń sprawdzających wartość p. Niektóre z naruszeń, które prowadzą do małych statystyk F, obejmują nierówne wariancje, niewłaściwą randomizację, brak niezależności lub po prostu fałszowanie danych.

Problem polega na tym, że testowanie hipotez obejmuje wartość zerową ORAZ alternatywną hipotezę, a zatem; region odrzucenia jest określony przez obie hipotezy.

Rozważmy prostszy przykład. Jeśli badasz proces, który prawdopodobnie ma ŚREDNIA równą zero, ale nie może mieć średniej mniejszej niż zero, możesz być zainteresowany wykonaniem następującego testu

\ begin {equation} \ begin { tablica} {c} H_ {0}: \ mu = 0 \ H_ {1}: \ mu> 0 \\ end {array} \ nonumber \ end {equation}

na poziomie alfa. Twój region odrzucenia hipotezy zerowej znajduje się po prawej stronie od zera. Uzyskanie średniej próbki, która jest ujemna, nie jest niemożliwe, aczkolwiek z niewielkim prawdopodobieństwem. Gdybyś miał w eksperymencie uzyskać ujemną średnią z próby, nie kwestionowałbyś prawdziwości eksperymentu.

Rozważ teraz swoje pytanie. Powodem, dla którego region odrzucenia dla statystyki F jest po prawej, jest alternatywna hipoteza w jednokierunkowej ANOVA. Testujesz hipotezę, że

\ begin {equation} \ begin {array} {c} H_ {0}: \ sum \ tau_ {i} ^ {2} = 0 \ H_ {1}: \ sum \ tau_ {i} ^ {2} \ ne 0 \\ end {tablica} \ nonumber \ end {equation}

Hipoteza zerowa mówi, że używasz centralnego rozkładu F, a hipoteza alternatywna , wymuszenie rozkładu w prawo, gdy hipoteza alternatywna jest prawdziwa, oznacza, że ​​całe prawdopodobieństwo błędu typu I musi znajdować się po prawej stronie.

Czy statystyka testowa może być mniejsza niż jeden? Jeśli hipoteza zerowa jest prawdziwa, jest to z pewnością możliwe; tak jak w poprzednim przykładzie, gdzie statystyka testowa mogła być ujemna, nawet jeśli ŚREDNIA danych wynosi zero.

Po przejrzeniu folderu, którego nie szukałem od lat (jak prawdziwy folder, a nie folder na komputerze), znalazłem ten artykuł, który może być interesujący dla tego pytania:

Voelkle, MC, Ackerman, PL, & Wittmann, WW (2007). Rozmiary efektów i współczynniki F < 1.0. Metodologia: European Journal of Research Methods for the Behavioral and Social Sciences , 3 (1), 35–46. doi: 10.1027 / 1614-2241.3.1.35

Abstrakt brzmi:

Standardowe teksty statystyczne wskazują, że oczekiwana wartość wskaźnika F $ wynosi 1,0 $ (dokładniej : $ N / (N-2) $) w całkowicie zbilansowanej ANOVA ze stałymi efektami, gdy hipoteza zerowa jest prawdziwa. Chociaż niektórzy autorzy sugerują, że hipoteza zerowa rzadko jest prawdziwa w praktyce (np. Meehl, 1990), w literaturze dość często podaje się wskaźniki F $ < 1,0 $. Jednak standardowe statystyki wielkości efektu (np. $ F $ Cohena) często dają dodatnie wartości, gdy $ F < 1,0 $, co wydaje się powodować zamieszanie co do sensowności statystyk wielkości efektu, gdy hipoteza zerowa może być prawdziwa. Biorąc pod uwagę powtarzający się nacisk na zgłaszanie wielkości efektu, wykazano, że w obliczu $ F < 1,0 $ mylące jest podawanie tylko szacunków wielkości efektu próbki, tak jak często jest to zalecane. Omówiono przyczyny współczynników $ F $ $ < 1,0 $, zilustrowane krótkim badaniem symulacyjnym. Omówiono obliczenia i interpretację poprawionych i niepoprawionych statystyk wielkości efektu w tych warunkach. Obliczanie skorygowanych miar siły asocjacji i uwzględnianie przedziałów ufności wielkości efektu jest pomocne przy próbie zmniejszenia nieporozumień związanych z wynikami, gdy rozmiary próbek są małe. Szczegółowe zalecenia skierowane są do autorów, redaktorów czasopism i recenzentów.

Pewien student zadał mi dzisiaj podobne pytanie.Krótka odpowiedź jest taka, że F to < 1, gdy w grupach jest więcej wariancji niż pomiędzy.

Oto przykład:

Wartości grupy 1: 25, 50, 75 Wartości grupy 2: 26, 50, 75 Wartości grupy 3: 27, 50, 75

Jest niewielka różnica między średnimi grupowymi:

Grupa 1 Średnia = 50,00 Grupa 2 Średnia = 50,33 Grupa 3 średnia = 50,66

Ale różnice między grupami w porównaniu do średnich grupowych są stosunkowo duże.Większość wyników różni się o około 25 punktów od średniej:

Wartości grupy 1: -25, 0, 25 Wartości grupy 2: -24,33, -0,33, 24,66 Wartości grupy 3: -23,66, -0,66, 24,33

Ten scenariusz prowadzi do dużej rozbieżności w grupach (600,55) i niewielkiej między (0,33).

Rezultatem jest współczynnik F równy 0,00055!

Jeśli wartość F jest mniejsza niż jeden, to średnia suma kwadratów wynikająca z zabiegów jest mniejsza niż suma kwadratów z powodu błędu. Dlatego nie ma potrzeby obliczania F, hipoteza zerowa jest prawdziwa, wszystkie próbki są jednakowo istotne.