Weź dwie dodatnie zmienne iid Cauchy'ego $ Y_1, Y_2 $ o wspólnej gęstości $$ f (x) = \ frac {2} {\ pi} \ frac {\ mathbb I_ {x>0}} {1 + x ^ 2} $$ i nieskończone oczekiwanie.

minimalna zmienna $ \ min (Y_1, Y_2) $ ma wtedy gęstość $$ g (x) = \ frac {8} {\ pi ^ 2} \ frac {\ pi / 2- \ arctan (x)} {1 + x ^ 2} \ mathbb I_ {x>0} $$ Ponieważ (według reguły L'Hospitala) $$ \ frac {\ pi / 2- \ arctan (x)} {1 + x ^ 2} \ equiv \ frac {1} {x ^ 3} $$ span > w nieskończoność, funkcja $ x \ mapsto xg (x) $ jest integrowalna. Dlatego $ \ min (Y_1, Y_2) $ ma ograniczone oczekiwanie w rzeczywistości równe $ \ log (16) / \ pi $ .

Ogólnie rzecz biorąc, w zwykłej próbce Cauchy'ego $ X_1, \ ldots, X_n $ , z $ n \ ge 3 $ , każda statystyka zamówienia oprócz ekstremów $ X _ {(1)} $ i $ X _ {(n )} $ cieszy się (skończonymi) oczekiwaniami. (Ponadto $ X _ {(1)} $ i $ X _ {(n)} $ mają nieskończone oczekiwania, odpowiednio $ - \ infty $ i $ + \ infty $ , zamiast żadnych oczekiwań. )

Znajdźmy ogólne rozwiązanie dla niezależnych zmiennych $ X $ i $ Y $ z CDF-ami $ F_X $ i $ F_Y, $ . To da nam przydatne wskazówki co do tego, co się dzieje, bez rozpraszania się obliczeniami określonych całek.

Niech $ Z = \ min (X, Y). $ Następnie z podstawowych aksjomatów i definicji możemy wyliczyć, że dla dowolnej liczby $ z, $

$$ \ eqalign { F_Z (z) & = \ Pr (Z \ le z) = 1 - \ Pr (Z > z) = 1 - \ Pr (X \ gt z, Y \ gt z) \\ & = 1 - (1-F_X (z)) (1-F_Y (z)).} $$

W przypadku dowolnego CDF $ F $ oczekiwanie wynosi

$$ E_F = \ int _ {- \ infty} ^ 0 F (z) \ mathrm {d} z + \ int_ {0} ^ \ infty (1-F ( z)) \ mathrm {d} z, $$

suma części ujemnej i części dodatniej

W konsekwencji pytanie dotyczy tego, czy jest to możliwe dla $ E_ {F_Z} $ i $ E_ {F_Y} $ ma być nieskończone, ale $ E_ {F_Z} $ ma być skończone. Wymaga to zarówno ujemnej, jak i dodatniej części $ E_ {F_Z} $ , aby było skończone. Zamiast analizować to w pełni, wystarczy zbadać, co dzieje się z częściami dodatnimi: możesz obliczyć analogie dla części ujemnych.

Zatem w najgorszym przypadku całki $ \ int_0 ^ \ infty (1-F_X (z)) \ mathrm {d} z $ i $ \ int_0 ^ \ infty (1-F_Y (z)) \ mathrm {d} z $ będzie się różnić, ale zastanawiamy się, czy całka iloczynu

$$ \ int_0 ^ \ infty (1-F_X (z)) (1-F_Y (z)) \ mathrm {d} z $$

różni się. Oczywiście nie może być gorsze od dwóch pierwotnych całek, ponieważ $ 0 \ le F (z) \ le 1 $ dla wszystkich $ z, $

$$ \ int_0 ^ \ infty (1-F_X (z)) (1-F_Y (z)) \ mathrm {d} z \ le \ int_0 ^ \ infty ( 1-F_X (z)) \ mathrm {d} z \, \ sup_ {z \ ge 0} (1-F_Y (z)) \ le \ int_0 ^ \ infty (1-F_X (z)). $$

TTo wystarczy do zbadania krajobrazu. Załóżmy, że jako $ z \ to \ infty, $ $ 1- F_X (z) $ jest przybliżone przez $ z ^ {- p} $ dla pewnej dodatniej mocy $ p , $ i podobnie $ 1-F_Y (z) $ jest przybliżane przez $ z ^ {- q} $ dla $ q \ gt 0. $ Piszemy $ 1-F_X \ sim O (Z ^ p) $ i $ 1-F_Y \ sim O (Z ^ q). $ Wtedy, gdy oba $ p $ i $ q $ są mniejsze niż $ 1, $ $ E_ {F_X} $ i $ E_ {F_Y} $ są nieskończone.

• Kiedy $ p + q \ le 1, $ , ponieważ $ (1-F_X) (1- F_Y) \ sim O (z ^ {p + q}), $ $ E_ {F_Z} = \ infty. $

• Ale kiedy $ p + q \ gt 1, $ $ E_ {F_Z} $ span > jest skończone, ponieważ $ \ int_0 ^ t (1-F_Z (z)) \ mathrm {d} z $ jest ograniczone powyżej $ \ int_0 ^ 1 (1-F_Z (z)) \ mathrm {d} z $ plus pewna wielokrotność $$ \ int_1 ^ tz ^ {- ( p + q)} \ mathrm {d} z = \ frac {1} {p + q-1} \ left (1 - t ^ {- (p + q-1)} \ right) \ to \ frac {1 } {p + q-1} \ lt \ infty. $$

Innymi słowy, nieskończone oczekiwania dotyczące pozytywnych części $ X $ i $ Y $ implikują, że ich funkcje przetrwania $ 1-F_X $ i $ 1-F_Y $ zbliżają się do dolnej granicy 0 $ tylko bardzo wolno; ale iloczyn tych funkcji przetrwania, który jest funkcją przetrwania $ Z, $ może zbliżyć się do 0 USD wystarczająco szybko, aby $ Z $ uzyskać skończone oczekiwanie.

Krótko mówiąc,

Dla $ Z $ , aby mieć skończone oczekiwanie, $ (1-F_X) (1-F_Y) $ span> musi zbiegać się do 0 $ wystarczająco szybko przy $ + \ infty. $ Może się to zdarzyć nawet wtedy, gdy żadne $ 1-F_X $ lub $ 1-F_Y $ zbiegają się wystarczająco szybko.

Cóż, jeśli nie narzucisz niezależności, tak.

Weź pod uwagę $ Z \ sim Cauchy $ i $ B \ sim Bernouilli (\ frac {1} {2}) $ . Zdefiniuj $ X $ i $ Y $ według:

$$ X = \ left \ {\ begin {array} [ccc] 0 0 & \ text {if} & B = 0 \\ | Z | & \ text {if} & B = 1 \ end {array} \ right. $$

$$ Y = \ left \ {\ begin {array} [ccc]. | Z | & \ text {if} & B = 0 \\ 0 & \ text {if} & B = 1 \ end {array} \ right. $$

Gdzie $ |. | $ oznacza wartość bezwzględną. $ X $ i $ Y $ mają nieskończone oczekiwania, ale $ \ min (X, Y) = 0 $ , więc $ E (\ min (X, Y)) = 0 $ .

W przypadku niezależnych zmiennych losowych nie wiem i byłbym zainteresowany wynikiem!

Ta odpowiedź nie jest tak ogólna jak odpowiedź Whubera i odnosi się do identycznych rozłożonych X i Y, ale uważam, że jest to dobry dodatek, ponieważ daje inną intuicję. Zaletą tego podejścia jest to, że łatwo uogólnia się na różne statystyki zamówień i różne momenty lub inne funkcje $ T (X) $ . Również gdy znana jest funkcja kwantylowa, wówczas możliwość lub niemożność „uczynienia statystyki skończoną” przy użyciu statystyki rzędu jest łatwo dostrzegalna po typie osobliwości w 0 i 1.

Szybki intuicyjny pogląd na możliwość, że statystyka porządku może mieć skończone oczekiwania, nawet jeśli zmienna bazowa nie może być wykonana za pomocą funkcji kwantyla.

Możemy postrzegać momenty rozkładu jako momenty funkcji kwantylowej: https://stats.stackexchange.com/a/365385/164061

$$ E (T (x)) = \ int_ {0} ^ 1 T (Q (q)) dq \\ $$

Powiedzmy, że chcemy obliczyć pierwszy moment, a następnie $ T (x) = x $ . Na poniższym obrazku odpowiada to obszarowi między F a pionową linią w $ x = 0 $ (gdzie obszar po lewej stronie może być liczony jako ujemny, gdy $ T (x) <0 $ ).

Krzywe na obrazku pokazują, w jakim stopniu każdy kwantyl wpływa na obliczenia. Jeśli krzywa $ T (Q (F)) $ biegnie dostatecznie szybko do nieskończoności, gdy F zbliża się do zera lub jedynki, wówczas obszar może być nieskończony.

Teraz dla statystyki zamówienia całka po kwantylach $ dq $ nieco się zmienia. Dla zmiennej normalnej każdy kwantyl ma równe prawdopodobieństwo. W przypadku dystrybucji zamówień jest to dystrybucja beta. Zatem całka staje się dla próbki o rozmiarze $ n $ i przy użyciu minimum:

$$ E (T (x _ {(n)})) = n! \ int_ {0} ^ 1 (1-q) ^ {n-1} T (Q (q)) dq \\ $$

Ten termin $ (1-q) ^ {n-1} $ może być w stanie utworzyć funkcję, która początkowo była zintegrowana z nieskończonością, ponieważ miała biegun zamówienie 1 lub wyższe (jego zachowanie w pobliżu $ q = 1 $ było takie jak $ T (Q (q)) \ sim ( 1-q) ^ {- a} $ z $ a>1 $ ), jest teraz w stanie zintegrować z wartością skończoną.

Przykład: średnia próbki mediany próbki pobranej ze zmiennej o rozkładzie Cauchy'ego jest teraz skończona, ponieważ bieguny pierwszego rzędu zostały usunięte. Oznacza to, że $ q ^ a (1-q) ^ b \ tan (\ pi (q-0.5)) $ jest skończone dla $ a \ geq 1 $ i $ b \ geq 1 $ . (odnosi się to do bardziej ogólnego stwierdzenia Xi'ana na temat statystyki porządku w odniesieniu do zmiennej Cauchy'ego)

Ponadto: gdy funkcja kwantyla ma istotną osobliwość, na przykład $ Q (p) = e ^ {1 / (1-p)} - e $ wtedy minimum próbki pozostaje z nieskończonymi lub nieokreślonymi momentami bez względu na rozmiar próbki (właśnie utworzyłem tę funkcję kwantyla jako przykład, odnosi się ona do $ f (x) = \ frac { 1} {(x + a) \ log (x + a) ^ 2} $ , nie jestem pewien, czy istnieją bardziej znane dystrybucje, które mają istotną osobliwość w funkcji kwantyla).

Dzieje się tak z prawie każdą dystrybucją, ponieważ oczekiwanie na podzbiorze rośnie zwykle znacznie wolniej niż w podzbiorze. Przyjrzyjmy się oczekiwaniom dotyczącym podzbioru zmiennej $ z $ z plikiem PDF $ f (z) $ : $$ E_x [z] = \ int _ {- \ infty} ^ xzf (z) dz $$ Spójrzmy na tempo wzrostu tego wyjątku: $$ \ frac d {dx} E_x [z] = xf (x) $$ Zatem oczekiwanie na podzbiorze rośnie znacznie wolniej niż $ x $ , granica podzbioru. Wynika z tego, że chociaż dla rozkładu bez momentów, takich jak moduł Cauchy'ego $ | z | $ , oczekiwanie jest nieskończone $ E_ \ infty [| z |] = \ infty $ , jego wzrost wraz z górną granicą podzbioru znacznie zwalnia z dużym $ z $ . W rzeczywistości w tym przypadku $ E_x [z] \ około 1 / x $ .

Dlaczego jest to istotne? Dlatego. Spójrz na oczekiwanie $ E [x | x<y] $ , gdzie oba $ x, y $ pochodzą z ten sam rozkład z gęstością $ f (.) $ , który ma nieskończoną średnią: spójrzmy na oczekiwanie minimum: $$ E [x | x<y] = \ int _ {- \ infty} ^ \ infty dyf (y) \ int _ {- \ infty} ^ {y} dxf (x) \ times x \\ = \ int _ {- \ infty} ^ \ infty dy f (y) E_y [x] $$ Ponieważ $ E_y [x] $ rośnie znacznie wolniej niż $ y $ , ta całka najprawdopodobniej będzie skończona . Jest on z pewnością skończony dla modułu Cauchy'ego $ | x | $ i jest równy $ \ ln 4 / \ pi $ :

• $ E_x [| z |] = \ int_0 ^ x \ frac 2 \ pi \ frac {z} {1 + z ^ 2} dz = \ int_0 ^ x \ frac1 \ pi \ frac {1} {1 + z ^ 2} dz ^ 2 = \ frac 1 \ pi \ ln (1 + z ^ 2) | _0 ^ x = \ frac {\ ln (1 + x ^ 2)} {\ pi} $ - tutaj już widzimy, jak oczekiwanie na podzbiór zwolniło z $ x $ do $ \ ln x $ .
• $ E [x | x<y] = \ int_ {0} ^ \ infty \ frac 2 \ pi \ frac 1 {1 + x ^ 2} \ frac {\ ln (1 + x ^ 2)} {\ pi} dx = \ frac 1 \ pi \ ln 4 $

Możesz zastosować tę analizę do funkcji minimum w trywialny sposób.