Pytanie:
Czy średnia z próbek jest nadal ważną próbką?
Euler_Salter
2020-04-30 15:43:08 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Załóżmy, że próbuję $ n $ razy z dystrybucji $$ x_1, \ ldots, x_n \ sim p_ \ theta (x) $$ czy średnia z próbek always to ważna próbka z rozkładu docelowego?To znaczy.czy $ \ overline {x} $ jest prawidłową próbką z $ p_ \ theta (x) $ $$ \ overline {x} = \ frac {1} {n} \ sum_ {i = 1} ^ n x_i $$

Moja intuicja jest taka, że tak nie jest.Załóżmy na przykład, że dystrybucja jest multimodalna
Możesz przeczytać o centralnym twierdzeniu granicznym.
Czy jest pytanie, czy średnia ma ten sam rozkład, czy też średnia jest możliwą próbką rozkładu?
Co to jest ** "_ poprawna próbka _" **?Na przykład, czy pytasz, czy średnia próbek z rozkładu jest niezbędnym członkiem zbioru wartości, który obejmuje rozkład?
Poniżej świetne odpowiedzi.Być może najłatwiejszym przykładem do wymyślenia jest rzut kostką.Średni wynik to 3,5, co nigdy nie pojawi się jako indywidualna obserwacja.
Sześć odpowiedzi:
#1
+21
gunes
2020-04-30 15:48:21 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Nie, $ \ bar x $ ma własny rozkład próbkowania.Weźmy na przykład wariancje $ \ bar x $ i $ x_i $ , gdzie poprzednijest zawsze mniejsza ( $ \ leq $ ) niż druga, co oznacza, że $ \ bar x $ nie jestpróbkowane z $ p_ \ theta (x) $ .

Słuszna uwaga!To taka prosta rzecz do sprawdzenia
Jest to próbka z $ p $ tylko wtedy, gdy $ n = 1 $ btw.
Jeśli dobrze pamiętam, wyjątkowym przypadkiem jest tutaj rozkład Cauchy'ego.tj. jeśli $ x_i $ są próbkowane z rozkładu Cauchy'ego, to $ \ bar x $ jest rozkładane jako ten sam rozkład Cauchy'ego.
@kdbanman jest poprawny, odnosi się również do innej odpowiedzi javierozcoiti.Innym trywialnym wyjątkiem jest stała RV.
Ach, to właśnie dostaję, nie czytając [email protected] dzięki za dodatkową sprawę.W pewnym sensie interesujące jest, że przypadki graniczne znajdują się na skraju dyspersji: minimalna dyspersja dla stałej RV (tj. Rozkład delta) i maksymalna dyspersja dla Cauchy'ego.
#2
+21
Dason
2020-05-01 00:49:02 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Jak dotąd dobre przykłady, ale weź pod uwagę $$ X_i \ sim Bernoulli (.5) $$

W takim przypadku rozkład danych będzie miał wsparcie tylko dla 0 i 1. Jednak średnia z próby będzie miała coraz mniejsze prawdopodobieństwo przyjęcia wartości 0 lub 1, gdy rozmiar próbki będzie coraz większy.Już samo to powinno pokazać, że średnia nie jest próbkowana z oryginalnej dystrybucji.

#3
+13
javierazcoiti
2020-05-01 01:01:54 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Nie, jest to ważne tylko w przypadkach, gdy rozkład Cauchy'ego, średnie z próbek Cauchy'ego mają ten sam rozkład Cauchy'ego.

Prawdziwe.I nie jest to nawet jedyny przykład, ale ponieważ pytanie konkretnie mówi „zawsze” - przykłady nie są tak ważne, jak tutaj kontrprzykłady.
(+1) To może być idealna nietrywialna odpowiedź na pytanie typu „czy to może być”.
Myślę, że „idealnym” przykładem może być rozkład będący masą punktową.To dużo mniej skomplikowane niż kontakt z Cauchy'm.
#4
+12
JDL
2020-05-01 13:09:15 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Jako jeszcze bardziej patologiczny przykład weźmy pod uwagę próbkę z rozkładu, która jest jednolita w połączeniu $ [0,1] $ i $ [3,4] $ .Wraz ze wzrostem wielkości próby średnia będzie miała tendencję do 2, co nie potwierdza nawet rozkładu .Innym podobnym przykładem jest równomierny rozkład na granicy kuli jednostkowej (w dowolnej liczbie wymiarów)

#5
+9
Greenparker
2020-04-30 15:48:04 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Nie.Załóżmy, że masz $ X_1, X_2 \ sim N (0,1) $ .Następnie, $$ \ bar {X} = \ dfrac {X_1 + X_2} {2} \ sim N \ left (0, \ dfrac {1} {2} \ right) \ ,. $$

Ale $ N (0,1) \ ne N (0, 1/2) $ .

#6
+1
Jorge Leitao
2020-05-02 09:42:04 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Nie.

Aby średnia była próbką rozkładu, musi należeć do nośnika dystrybucji.

Poniżej znajdują się dwa przykłady, w których tak nie jest (co jest wystarczające, aby wykazać, że stwierdzenie nie jest ogólnie prawdziwe).

Dyskretne

Rozkład p (x = 1) = 0,5;p (x = -1) = 0,5 obsługuje $$ S = \ {- 1,1 \} $$ , ale średnio 0 \ notin S $ .

Ciągłe

Funkcja gęstości

$$ p (x) = \ frac {1} {2} rect (x-1) + \ frac {1} {2} rect (x + 1) $$

(dwie funkcje prostokątne wyśrodkowane odpowiednio na 1 i -1) mają wsparcie

$$ S =] -1,5, -0,5 [\ cap] 0,5,1,5 [$$

ale średnio 0 \ notin S $ .



To pytanie i odpowiedź zostało automatycznie przetłumaczone z języka angielskiego.Oryginalna treść jest dostępna na stackexchange, za co dziękujemy za licencję cc by-sa 4.0, w ramach której jest rozpowszechniana.
Loading...