Zgadzam się z X'ian, że problem jest niedostatecznie określony. Istnieje jednak eleganckie, skalowalne, wydajne, efektywne i wszechstronne rozwiązanie, które warto rozważyć.

Ponieważ iloczyn średniej i wielkości próby jest równy sumie próby, problem dotyczy wygenerowania losowej próbki $ n $ wartości w zbiorze $ \ {1,2, \ ldots, k \} $ to suma $ s $ (zakładając $ n \ le s \ le kn, $ oczywiście).

Aby wyjaśnić proponowane rozwiązanie i, mam nadzieję, uzasadnić twierdzenie elegance, , przedstawiam graficzną interpretację tego schematu próbkowania. Ułóż siatkę $ k $ wierszy i $ n $ kolumn. Zaznacz każdą komórkę w pierwszym rzędzie. Losowo (i jednolicie) wybierz $ sn $ z pozostałych komórek w wierszach od $ 2 $ do $ k. $ Wartość obserwacji $ i $ w próbce to liczba komórek wybranych w kolumnie $ i: $

Siatka 4 $ \ times 100 $ jest reprezentowana przez czarne kropki w niewybranych komórkach i kolorowe plamy w zaznaczonych komórkach. Został wygenerowany w celu uzyskania średniej wartości 2 $, $ , więc $ s = 200. $ Zatem 200-100 = 100 $ komórki zostały losowo wybrane z górnych $ k-1 = 3 $ wierszy. Kolory przedstawiają liczbę wybranych komórek w każdej kolumnie. Jest 28 $ jedynek, 47 $ twos, 22 $ trójki i 3 $ czwórka. Zamówiona próbka odpowiada sekwencji kolorów z kolumny 1 $ do kolumny $ n = 100. $

Aby zademonstrować skalowalność i wydajność, oto polecenie R do wygenerowania próbki zgodnie z tym schematem. Pytanie dotyczy przypadku $ k = 4, n = 100 $ i $ s $ to $ n $ razy żądana średnia próbki:

  tabulate (sample.int ((k-1) * n, s-n) %% n + 1, n) + 1
 

Ponieważ sample.int wymaga $ O (sn) $ czasu i $ O ( (k-1) n) $ spacja i tabulate wymaga $ O (n) $ czasu i przestrzeni, ten algorytm wymaga $ O (\ max (sn, n)) $ czasu i $ O (kn) $ spacji : to jest scalable. W przypadku $ k = 4 $ i $ n = 100 $ mojej stacji roboczej wykonanie tego obliczenia zajmuje tylko 12 mikrosekund : to jest fficient.

(Oto krótkie wyjaśnienie kodu. Zwróć uwagę, że liczby całkowite $ x $ w $ \ {1,2, \ ldots, (k-1) n \} $ można wyrazić jednoznacznie jako $ x = nj + i $ , gdzie $ j \ in \ {0,1, \ ldots, k-2 \} $ i $ i \ in \ {1,2, \ ldots, n \}. $ Kod pobiera próbkę takich $ x, $ konwertuje je na ich $ ( i, j) $ współrzędne siatki, zlicza, ile razy pojawi się każdy element $ i $ (który będzie w zakresie od 0 $ do $ k-1 $ ) i dodaje 1 $ do każdej liczby).

Dlaczego można to uznać za effective? Jednym z powodów jest to, że właściwości dystrybucyjne tego schematu próbkowania są łatwe do obliczenia:

• Jest wymienny: wszystkie permutacje dowolnej próbki są równie prawdopodobne.

• Prawdopodobieństwo, że wartość $ x \ in \ {1,2, \ ldots, k \} $ pojawi się na pozycji $ i, $ , który napiszę jako $ \ pi_i (x), $ jest uzyskiwany za pomocą podstawowego hipergeometrycznego argumentu liczącego jako $$ \ pi_i (x) = \ frac {\ binom {k-1} {x-1} \ binom {(n-1) (k-1)} {sn-x +1}} {\ binom {n (k-1)} {sn}}. $$ Na przykład z $ k = 4, $ $ n = 100, $ i średnio 2,0 $ (więc $ s = 200 $ ), prawdopodobnie $ \ pi = (0,2948, 0,4467, 0,2222, 0,03630), $ jest ściśle zgodne z częstotliwościami w powyższej próbce. Oto wykresy $ \ pi_1 (1), \ pi_1 (2), \ pi_1 (3), $ i $ \ pi_1 (4) $ jako funkcja sumy:

  

• Prawdopodobieństwo, że wartość $ x $ pojawi się na pozycji $ i $ , podczas gdy wartość $ y $ pojawia się na pozycji $ j $ jest podobnie znajdowana jako $$ \ pi_ {ij} (x, y) = \ frac {\ binom {k-1} {x-1} \ binom {k-1} {y-1} \ binom {(n-1) (k-1)} {snx-y + 2}} {\ binom {n (k-1)} {sn}}. $$

Te prawdopodobieństwa $ \ pi_i $ i $ \ pi_ {ij} $ umożliwiają zastosowanie estymator Horvitza-Thompsona do tego planu próbkowania prawdopodobieństwa , a także do obliczenia pierwszych dwóch momentów rozkładów różnych statystyk.

Wreszcie, to rozwiązanie to versatile, o ile pozwala na proste, łatwe do przeanalizowania zmiany w celu sterowania rozkładem próbkowania.Na przykład, możesz wybrać komórki w siatce z określonymi, ale nierównymi prawdopodobieństwami w każdym wierszu lub za pomocą modelu podobnego do urny, aby zmodyfikować prawdopodobieństwa w miarę postępu próbkowania, kontrolując w ten sposób częstotliwości zliczania kolumn.

Pytanie jest niedostatecznie określone, ponieważ ograniczenia dotyczące częstotliwości \ begin {align} n_1 + 2n_2 + 3n_3 + 4n_4& = 100 mln \\ n_1 + n_2 + n_3 + n_4& = 100 \ end {align} nie określaj rozkładu: „losowy” nie jest powiązany z określonym rozkładem, chyba że PO oznacza „jednolity”. Na przykład, jeśli istnieje jedno rozwiązanie $ (n_1 ^ 0, n_2 ^ 0, n_3 ^ 0, n_4 ^ 0) $ do powyższego systemu, to dystrybucja zdegenerowana przy tym rozwiązaniu generuje losowe losowanie, które zawsze wynosi $ (n_1 ^ 0, n_2 ^ 0, n_3 ^ 0, n_4 ^ 0) $ .

W przypadku, gdy pytanie dotyczy symulacji jednolitej dystrybucji w siatce \ begin {align} n_1 + 2n_2 + 3n_3 + 4n_4& = 100M \\ n_1 + n_2 + n_3 + n_4& = 100 \ end {align} zawsze można użyć algorytmu Metropolis-Hastings. Zaczynając od $ (n_1 ^ 0, n_2 ^ 0, n_3 ^ 0, n_4 ^ 0) $ , utwórz łańcuch Markowa, proponując symetryczne, losowe perturbacje wektora $ (n_1 ^ t, n_2 ^ t, n_3 ^ t, n_4 ^ t) $ i zaakceptuj, jeśli wynik mieści się w $ \ {1, 2, 3, 4 \} ^ 4 $ i spełnia ograniczenia.

Na przykład, oto surowy render R:

  cenM = 293
#starting point (n¹, n³, n⁴)
n<-sample (1: 100,3, rep = TRUE)
while ((sum (n) >100) | (n [2] -n [1] + 2 * n [3]! = cenM-200))
    n<-sample (1: 100,3, rep = TRUE)
Sieć #Markov
for (t in 1: 1e6) {
  prop<-n + sample (-10: 10,3, rep = TRUE)
  if ((sum (prop) <101) &
      (prop [2] -prop [1] + 2 * prop [3] == cenM-200) &
      (min (prop) >0))
        n = prop}
c (n [1], 100-sum (n), n [-1])
 

z rozkładem $ (n_1, n_3, n_4) $ w 10⁶ iteracjach:

Jeśli chcesz losować same liczby całkowite,

  sample (c (rep (1, n [1]), rep (2,100-sum (n)), rep (3, n [2]), rep (4, n [3])) )
 

to szybki, brudny sposób & na utworzenie próbki.

Chcę ... uh ... "osłabić" niesamowitą odpowiedź @ Whubera, która według @TomZingera jest zbyt trudna do naśladowania. Mam na myśli to, że chcę to ponownie opisać w taki sposób, że myślę, że Tom Zinger zrozumie, ponieważ jest to zdecydowanie najlepsza odpowiedź tutaj. A ponieważ Tom stopniowo stosuje tę metodę i odkrywa, że ​​potrzebuje, powiedzmy, znać rozmieszczenie próbek, a nie tylko ich średnią, odpowiedź Whubera będzie właśnie tym, czego szuka.

Krótko mówiąc: nie ma tu żadnych oryginalnych pomysłów, tylko prostsze wyjaśnienie.

Chcesz utworzyć $ n $ liczby całkowite od $ 1 $ do 4 $ ze średnią $ r $ . Zasugeruję obliczanie $ n $ liczb całkowitych od $ 0 $ do 3 $ ze średnią $ r-1 $ , a następnie dodaj po jednym do każdego z nich. Jeśli możesz zrobić to drugie, możesz rozwiązać pierwszy problem. Na przykład, jeśli chcemy 10 liczb całkowitych między 1 $ a 4 $ ze średnią 2,6 $ , możemy zapisać te 10 $ liczby całkowite z przedziału od 0 $ do 3 $ ...

0,3,2,1,3,1,2,1,3,0

którego średnia wynosi 1,6 USD ; jeśli zwiększymy każdy o 1 $ , otrzymamy

1,4,3,2,4,2,3,2,4,1

którego średnia wynosi 2,6 USD . To takie proste.

Pomyślmy teraz o liczbach od 0 $ do 3 $ . Będę myśleć o nich jako o „ile przedmiotów mam w„ małym ”zestawie?” Mogę nie mieć żadnych przedmiotów, jednego przedmiotu, dwóch lub trzech elementów. Więc lista

0,3,2,1,3,1,2,1,3,0

reprezentuje dziesięć różnych małych zestawów. Pierwsza jest pusta; druga ma trzy elementy i tak dalej. Całkowita liczba elementów we wszystkich zestawach to suma dziesięciu liczb, czyli 16 $ . A średnia liczba elementów w każdym zestawie to suma podzielona przez 10 USD , stąd 1,6 $ .

Pomysł jest taki: załóżmy, że zrobisz sobie dziesięć małych zestawów, z całkowitą liczbą elementów wynoszącą 10 t $ za pewną liczbę $ t $ . Wtedy średni rozmiar zestawów wyniesie dokładnie $ t $ . W ten sam sposób, jeśli utworzysz zestawy $ n $ z łączną liczbą elementów $ nt $ span >, średnia liczba elementów w zestawie wyniesie $ t $ . Mówisz, że interesuje Cię sprawa $ n = 100 $ .

Zróbmy konkretny przykład: potrzebujesz 100 elementów od 1 do 4, których średnia wynosi 1,9 USD . Korzystając z pomysłu z pierwszego akapitu, zmienię to na „make 100 $ ints między $ 0 $ span> i 3 $ , których średnia wynosi 0,9 $ ". Kiedy skończę, dodam 1 $ do każdego z moich int, aby znaleźć rozwiązanie Twojego problemu. Tak więc moja średnia docelowa to $ t = 0,9 $ .

Chcę zrobić zestawy 100 USD , każdy zawierający od 0 $ do 3 $ elementów, o średnim rozmiarze zestawu 0,9 $ .

Jak zauważyłem powyżej, oznacza to, że musi istnieć całkowita 100 $ \ cdot 0.9 = 90 $ elementów w zestawy. Z liczb 1, 2, \ ldots, 300 $ , wybiorę dokładnie 90 $ . Mogę wskazać wybrane, tworząc listę 300 kropek i X-ów:

..X .... X ... XX ...

gdzie powyższa lista wskazuje, że wybrałem liczby 3, 9, 13, 14, a następnie wiele innych, których nie pokazałem, ponieważ mam dość pisania. :) Mogę wziąć tę sekwencję 300 kropek i X i podzielić ją na trzy grupy po 100 kropek, które układam jedna na drugiej, uzyskując coś, co wygląda tak:

  ... X .... X..X ..... X ...
.X ... X ..... X ... X .....
..X ... X.X..X ...... X ..
 

ale dotyczy pełnych 100 pozycji w każdym wierszu. Liczba X w każdym wierszu może się różnić - na przykład może być 35 w pierwszym rzędzie, 24 w drugim i 31 w trzecim, i to jest OK. [Dzięki Whuberowi za wskazanie, że popełniłem błąd w pierwszej wersji roboczej!]

Teraz spójrz na każdą kolumnę : każda kolumna może być traktowana jako zestaw, a ten zestaw zawiera od 0 do 3 „X”. Mogę napisać podliczenia pod wierszami, aby uzyskać coś takiego:

  ... X .... X..X ..... X ...
.X ... X ..... X ... X .....
..X ... X.X..X ...... X ..
011101102003000101100
 

To znaczy, że utworzyłem 100 liczb, każda z przedziału od 1 do 3. Suma tych 100 liczb musi być łączną liczbą X-ów we wszystkich trzech wierszach, czyli 90. Zatem średnia musi być 90/100 = 0,9 USD , zgodnie z potrzebami.

Oto kroki prowadzące do uzyskania 100 liczb całkowitych od 1 do 4, których średnia wynosi dokładnie $ s $ .

1. Niech $ t = s - 1 $ .
2. Oblicz $ k = 100 t $ ; tyle w sumie umieścimy w wierszach.
3. Zrób listę 300 kropek lub X, $ k $ , z których Xs.
4. Podziel to na trzy rzędy po 100 kropek lub X, z których każdy zawiera mniej więcej jedną trzecią znaków X.
5. Ułóż je w tablicy i oblicz sumy kolumn, uzyskując 100 liczb całkowitych między 0 $ a 3 $ span >. Ich średnia będzie wynosić $ t $ .
6. Dodaj po jednej do każdej sumy kolumny, aby otrzymać 100 liczb całkowitych od 1 $ do 4 $ , których średnia to $ s $ .

Teraz najtrudniejsza część jest tak naprawdę w kroku 4: jak wybrać 300 $ elementów, $ k $ z których to „X”, a pozostałe 300-tys. $ , z czego "."? Okazuje się, że R ma funkcję, która dokładnie to robi.

A potem whuber powie Ci, jak go używać: piszesz

  tabulate (sample.int ((k-1) * n, s-n) %% n + 1, n)
 

W Twoim przypadku $ n = 100 $ i $ s $ , łączna liczba elementów we wszystkich małych zestawach to 100r $ , a chcesz mieć liczby od 1 $ do 4 $ , więc $ k = 4 $ , więc $ k -1 $ (największy rozmiar dla „małego zestawu”) to 3, więc otrzymujemy

  tabulate (sample.int (3 * 100, 100r-100) %% 100 + 1, n)
 

lub

  tabulate (sample.int (3 * 100, 100 * (r-1)) %% 100 + 1, 100)
 

lub, używając mojego imienia i nazwiska $ t $ dla $ r - 1 $ , stanie się

  tabulate (sample.int (3 * 100, 100 * t) %% 100 + 1, 100)
 

„+1” na końcu jego pierwotnej formuły to dokładnie krok potrzebny do konwersji z „liczb między 0 $ a 3 $ " na "numery od 1 $ do 4 $ ".

Pracujmy od wewnątrz i uprośćmy do $ n = 10 $ , abym mógł pokazać przykładowe wyniki:

  tabulate (sample.int (3 * 10, 10 * t) %% 10 + 1, 10)
 

I zmieńmy na $ t = 1,9 $ , więc otrzymamy

  tabulate (sample.int (3 * 10, 10 * 1,9) %% 10 + 1, 10)
 

Zaczynając od sample.int (3 * 10, 10 * 1,9) : w ten sposób powstaje lista 19 $ liczb całkowitych między 1 $ i 30 $ . (tj. rozwiązał problem polegający na wybieraniu $ k $ liczb z łącznej kwoty - 300 $ w Twój prawdziwy problem, 30 $ w moim mniejszym przykładzie).

Jak sobie przypominasz, chcemy utworzyć trzy rzędy po dziesięć kropek-X każdy, coś w rodzaju

  X.X.XX.XX.
 XXXX.XXX ..
 XX.X.XXX ..
 

Możemy przeczytać ten tekst od lewej do prawej z góry na dół (tj. normalny porządek czytania), aby stworzyć listę lokalizacji dla X: pierwsza pozycja to kropka; druga i trzecia to X i tak dalej, więc nasza lista lokalizacji zaczyna się $ 1, 3, 5, 6, \ ldots $ . Kiedy docieramy do końca wiersza, po prostu liczymy w górę, więc na powyższym obrazku lokalizacje X będą wynosić $ 1, 3, 5, 6, 8, 9, 11, 12, 13, 14, 16, 17, 18, 21, 22, 24, 26, 27, 28 $ . Czy to jasne?

Cóż, kod Whubers tworzy dokładnie taką listę lokalizacji z jej najbardziej wewnętrzną sekcją.

Następna pozycja to %% 10 ; która przyjmuje liczbę i tworzy resztę z dzielenia przez dziesięć. Więc nasza lista to $ 1, 3, 5, 6, 8, 9, 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 1, 2, 4, 6, 7, 8 $ . Jeśli podzielimy to na trzy grupy - te, które pochodzą z liczb od 1 $ do 10 $ , te, które pochodzą z liczb od 11 $ do 20 $ , oraz te, które pochodzą z liczb 21 $ do 30 $ , otrzymujemy $ 1, 3, 5, 6, 8, 9 $ , następnie $ 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, $ i na końcu 1 $, 2, 4, 6, 7, 8 $ . Mówią ci, gdzie znajdują się X w każdym z trzech rzędów. Występuje tutaj subtelny problem: gdyby na pozycji 10 w pierwszym wierszu znajdował się X, pierwsza z naszych trzech list byłaby $ 1, 3, 5, 6, 8, 9 , 0 $ , a funkcja tabulate nie lubi „0”. Whuber dodaje 1 do każdej pozycji na liście, aby uzyskać $ 2, 4, 6, 7, 9, 10, 1 $ . Przejdźmy do ogólnych obliczeń:

  tabulate (sample.int (3 * 10, 10 * 1,9) %% 10 + 1, 10)
 

To pyta „dla tych 30 $ liczb, z których każda wskazuje, czy w jakiejś kolumnie jest znak X, powiedz mi, ile razy każda kolumna (z 1 $ do 10 $ - to właśnie mówi ci ostatnia" 10 "), tzn. powiedz mi ile X są w każdej kolumnie. Wynik to 0 3 2 2 2 1 3 2 3 1 które (z powodu przesunięcia o jedną rzecz) musisz odczytać jako „nie ma X-ów w dziesiątej kolumnie; 3 X-y w pierwszej kolumnie; 2 X-y w drugiej kolumnie” i tak dalej w górę do „jest jeden X w dziewiątej kolumnie”.

Daje to dziesięć liczb całkowitych z przedziału od 0 $ do 3 $ , których suma wynosi 19 $ , stąd jego średnia wynosi 1,9 $ . Jeśli zwiększysz każdy o 1, otrzymasz dziesięć liczb całkowitych od 1 $ do 4 $ , których suma wynosi 29 $ , stąd średnia wartość 2,9 $ .

Mam nadzieję, że możesz uogólnić na $ n = 100 $ .

Możesz użyć sample () i wybrać określone prawdopodobieństwa dla każdej liczby całkowitej. Jeśli zsumujesz iloczyn prawdopodobieństw i liczb całkowitych, otrzymasz oczekiwaną wartość rozkładu. Jeśli więc masz na myśli średnią wartość, powiedz $ k $ , możesz rozwiązać następujące równanie: $$ k = 1 \ times P (1) + 2 \ times P (2) + 3 \ times P (3) + 4 \ times P (4) $$ span > Możesz dowolnie wybrać dwa prawdopodobieństwa i rozwiązać trzecie, które określa czwarte (ponieważ $ P (1) = 1- (P (2) + P (3) + P (4)) $ , ponieważ prawdopodobieństwa muszą sumować się do 1 $ ). Na przykład niech $ k = 2.3 $ , $ P (4) =. 1 $ i $ P (3) =. 2 $ . Mamy to $$ k = 1 \ times [1- (P (2) + P (3) + P (4)] + 2 \ times P (2) + 3 \ times P ( 3) + 4 \ times P (4) $$ $$ 2.3 = [1 - (P (2) +. 1 + .2)] + 2 * P (2) + 3 \ times .2 + 4 \ times .1 $$ $$ 2.3 = .7 + P (2) + .6 + .4 $$ $$ P (2) =. 6 $$ $$ P (1) = 1- (P (2) + P (3) + P (4) = 1 - (.6 + .1 + .2) =. 1 $$

Możesz więc uruchomić x <- sample (c (1, 2, 3, 4), 1e6, replace = TRUE, prob = c (.1, .6, .2, .1)) i mean (x) to około 2,3 USD

Oto prosty algorytm: Utwórz $ n-1 $ losowe liczby całkowite z zakresu $ [1,4]$ i oblicz $ n ^ {th} $ liczbę całkowitą, aby średnia była równa określonej wartości.Jeśli ta liczba jest mniejsza niż 1 $ lub większa niż 4 $ , wówczas rozdzielaj nadwyżkę jeden po drugim /brak na innych liczbach całkowitych, npjeśli liczba całkowita to 5 $ , mamy nadwyżkę 1 $ ;i możemy dodać to do następnej liczby całkowitej, jeśli nie jest to 4 $ , w przeciwnym razie dodać do następnej itd. Następnie przetasuj całą tablicę.

Jako uzupełnienie odpowiedzi Whubera, napisałem skrypt w Pythonie, który przechodzi przez każdy krok schematu próbkowania. Zauważ, że ma to na celu ilustrację i niekoniecznie jest wydajne.

Przykładowe dane wyjściowe:

  n = 10, s = 20, k = 4

Siatka startowa
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
X X X X X X X X X X

Wypełniona siatka
X X. . X. X. . X
. . X X X. . . . .
. . . . X X. . . .
X X X X X X X X X X

Siatka końcowa
X X. . X. X. . X
. . X X X. . . . .
. . . . X X. . . .
X X X X X X X X X X
2 2 2 2 4 2 2 1 1 2
 

Skrypt:

  import numpy jako np

# Określ parametry początkowe
liczby całkowite = [1, 2, 3, 4]
n = 10
s = 20
k = len (liczby całkowite)


def print_grid (siatka, tytuł):
    print (f '\ n {tytuł}')
    dla rzędu w siatce:
        print ('' .join ([str (element) dla elementu w wierszu]))


# Utwórz siatkę startową
grid = []
dla i w zakresie (1, k + 1):
    if i < k:
        grid.append (['.' for j in range (n)])
    jeszcze:
        grid.append (['X' dla j w zakresie (n)])

# Wydrukuj siatkę startową
print_grid (grid, 'Siatka startowa')

# Losowo i jednolicie wypełnij pozostałe wiersze
indexes = np.random.choice (range ((k - 1) * n), s - n, replace = False)
dla i w indeksach:
    row = i // n
    col = i% n
    grid [rzad] [col] = „X”

# Wydrukuj wypełnioną siatkę
print_grid (grid, 'Wypełniona siatka')

# Oblicz, ile komórek zostało zaznaczonych w każdej kolumnie
column_counts = []
dla kolumny w zakresie (n):
    count = sum (1 for i in range (k) if grid [i] [col] == 'X')
    column_counts.append (liczba)
grid.append (column_counts)

# Wydrukuj ostatnią siatkę i sprawdź, czy kolumna liczy sumę do s
print_grid (grid, 'Final grid')
wydrukować()
print (f'Czy kolumna liczy sumę do {s}? {sum (column_counts) == s}. ')
 

Zamieniłem odpowiedź Whubera w funkcję r.Mam nadzieję, że to komuś pomoże.

• n to liczba żądanych liczb całkowitych;
• t to środek, którego chcesz;i
• k to górny limit, jaki chcesz uzyskać dla zwracanych wartości

  whubernator<-function (n = NULL, t = NULL, kMax = 5) {
  z = tabulate (sample.int (kMax * (n), (n) * (t), replace = F) %% (n) +1, (n))
  powrót (z)
}
 

Wygląda na to, że działa zgodnie z oczekiwaniami:

  > w = whubernator (n = 10, t = 4,2)
> mean (w)
[1] 4.2
Długość > (w)
[1] 10
> w
 [1] 3 5 3 5 5 3 4 5 5 4
 

Może zwrócić 0, co odpowiada moim potrzebom.

  > whubernator (n = 2, t = 0,5)
[1] 1 0