W przypadku prognozowania szeregów czasowych należy przede wszystkim zrozumieć, że stacjonarność jest ważna głównie w kontekście ARiMR i modeli pokrewnych (AR: auto-regresywne, MA: średnia ruchoma). Istnieją inne typy modeli prognozowania szeregów czasowych, w których stacjonarność nie jest wymagana, na przykład Holt-Winters lub Facebook Prophet.

Oto dwa intuicyjne, jeśli nie całkowicie rygorystyczne matematycznie, wyjaśnienia, dlaczego średnia stacjonarność jest ważna w przypadku ARiMR:

• Komponent AR modeli ARMA traktuje modelowanie szeregów czasowych jako nadzorowany problem uczenia się, $ Y_t = a_1Y_ {t-1} + ... a_nY_ {tn} + c + \ sigma (t) $ . Powszechną zasadą w uczeniu nadzorowanym jest to, że dystrybucja danych szkoleniowych i dystrybucja danych testowych powinny być takie same, w przeciwnym razie model będzie źle działał w testach poza próbą i na danych produkcyjnych. Ponieważ w przypadku danych szeregów czasowych, zestaw treningowy to przeszłość, a zestaw testowy to przyszłość, wymóg stacjonarności polega po prostu na zapewnieniu, że rozkład pozostanie niezmieniony w czasie. W ten sposób unikniesz problemów, które pojawiają się podczas uczenia modelu na danych, które mają inną dystrybucję niż dystrybucja testowa / produkcyjna. A w szczególności średnia stacjonarność oznacza po prostu, że średnia zestawu pociągowego i średnia testu powinny pozostać takie same.

• Jeszcze prostsza uwaga: weź możliwie najbardziej podstawowy model ARMA, model $ AR (1) $ : $$ Y_t = aY_ {t-1} + c + \ sigma $$ , więc rekurencyjna relacja do szacowania na podstawie kroku na podstawie poprzedniego to: $$ \ hat {Y} _t = a \ hat {Y} _ {t-1} + c $$ , $$ \ hat {Y} _t - c = a \ hat {Y} _ {t-1} $$ przyjmując oczekiwaną wartość: $$ E (\ hat {Y} _t) - c = aE (\ hat { Y} _ {t-1}) $$ , co oznacza, że: $$ a = \ frac {E (\ hat {Y} _t) - c} {E ( \ hat {Y} _ {t-1})} $$ , więc jeśli chcemy, aby $ a $ pozostawał niezmieniony w czasie, czyli początek założenie modelu $ AR (1) $ , ponieważ chcemy, aby był podobny do regresji liniowej, a następnie $ E ( \ hat {Y} _t) $ musi pozostać taki sam dla wszystkich $ t $ , tzn. Twój serial ma być wrednym stacjonarnym.

Powyższe uwagi dotyczą również ogólnego przypadku ARMA, z $ AR (p) $ i $ MA (q) $ , chociaż matematyka jest nieco bardziej skomplikowana niż to, co opisuję, ale intuicyjnie idea jest wciąż ta sama. „I” w ARIMA oznacza „Zintegrowany”, który odnosi się do procesu różnicowania, który pozwala przekształcić bardziej ogólny szereg czasowy w taki, który jest stacjonarny i może być modelowany przy użyciu procesów ARMA.

Nie zgadzam się z charakterystyką @Alexis, która mówi, że „ że szeregi czasowe są nieruchome, w mniejszym lub większym stopniu ucieleśnia światopogląd, że przeszłość nie ma znaczenia ” - jeśli już, to jest na odwrót: przekształcanie czasuszereg na stacjonarny do celów modelowania polega na dokładnie sprawdzaniu, czy w szeregach czasowych istnieją jakieś struktury przyczynowe / deterministyczne poza tylko trendem i sezonowością.To znaczy.czy przeszłość wpływa na teraźniejszość lub przyszłość w sposób bardziej subtelny niż tylko zmiany na dużą skalę?(Ale mogę po prostu źle zinterpretować to, co ona próbuje powiedzieć).

Stacjonarność jest ważna, ponieważ jest matematycznie mocnym założeniem, które wciąż jest znacznie słabsze niż niezależność lub zależność o skończonym zasięgu.

W niektórych sytuacjach jest to ważne przede wszystkim ze względu na wykonalność matematyczną: łatwiej jest najpierw dowiedzieć się, co jest prawdą w przypadku stacjonarnych szeregów czasowych, a następnie możesz popracować nad złagodzeniem założeń. Być może potrzebujesz tylko stacjonarności o słabym wyczuciu lub stacjonarności średniej plus jakiś stan ogona lub cokolwiek innego. A może potrzebujesz stacjonarności, aby wynik był dokładny, ale zachowuje się mniej więcej przy słabszych założeniach.

W innych sytuacjach stacjonarność jest ważna, ponieważ istnieje tak wiele sposobów, aby być niestacjonarnym, że trudno byłoby sobie z nimi poradzić. Jeśli problem można przybliżyć serią stacjonarną, jest to duża praktyczna zaleta. W tym miejscu należy pamiętać, że seria stacjonarna $ X (t) $ , która pojawia się w matematyce, może nie być nieprzetworzonymi danymi. Na przykład tradycyjne modele ARMA są stacjonarne, ale zazwyczaj przed dopasowaniem do nich chciałbyś usunąć zależności sezonowe i trendy. Możesz chcieć przekształcić logarytm szereg, który ma rosnącą średnią i wariancję. I tak dalej.

Po pierwsze, twoje średnie szacunki i błędy standardowe będą mocno obciążone, jeśli używasz któregokolwiek z narzędzi wnioskowania, które zakładają i.i.d, co oznacza, że wyniki mogą być fałszywe.Może to być nawet prawdą, jeśli dane są słabo stacjonarne, ale okres nauki jest krótszy niż czas, w którym seria osiąga równowagę po zakłóceniu.

Po drugie, założenie, że szeregi czasowe są stacjonarne, w mniejszym lub większym stopniu ucieleśnia światopogląd, zgodnie z którym przeszłość nie ma znaczenia (np. dzisiejsze występowanie COVID-19 jest całkowicie niezależne od wczorajszego występowania COVID-19; \ $ per capita wydany w tym roku na uzależniające towary, takie jak papierosy, jest całkowicie niezależny od \ $ na mieszkańca wydanych na nie w zeszłym roku)… trochę nierealne.

Stacjonarny oznacza, że ​​statystyki opisujące proces losowy są stałe. „Bez pamięci proces Markowa” to inny sposób na określenie stacjonarnego, tak jak mówi się, że funkcja generująca prawdopodobieństwo nie ma terminów „sprzężenia zwrotnego”, ale jeśli rozpoznasz te słowa, możesz nie zadawać tego pytania. FWIW „słabo stacjonarny” to nie to samo, stałe lub poznawalne tempo zmian statystyk byłoby słabo stacjonarne, podobnie jak coś, co uśrednia, ale jest trochę bardziej zaangażowane, więc rozważ to uczciwe ostrzeżenie, że jest więcej informacji na wypadek, gdyby to część układanki, ale szczegółowe opisanie wszystkiego, co nie jest stacjonarne, zmieniłoby prostą odpowiedź w złożoną odpowiedź.

Dlaczego stacjonarny jest ważny? Powszechnie używane formuły statystyczne są tworzone w celu wykorzystania zestawu danych do wyodrębnienia nieprecyzyjnego opisu z możliwą do oszacowania dokładnością nieznanego inaczej procesu losowego. We wzorach założono, że dodanie większej liczby próbek zwiększa dokładność opisu poprzez zmniejszenie niepewności. W tym celu tendencja Mean Central, tj. Ergodyczna w średniej, musi być prawdziwa. Jeśli sam proces losowy się zmienia, np. wartość średnia lub wariancja się zmienia, to podstawowe założenie jest nieprawidłowe, nie można dokonać lepszego oszacowania.

Ogólnie mówiąc „co się dzieje”, jeśli średnia porusza się jako funkcja liniowa czasu, obliczona średnia będzie reprezentować średnią ważoną w czasie, a obliczona wariancja będzie zawyżona. Możliwe jest obliczenie „optymalnego a posteriori” (po fakcie) oszacowania procesu niestacjonarnego, a następnie wykorzystanie go do uzyskania znaczących statystyk, ponieważ najlepsze oszacowanie funkcji czasu minimalizuje wariancję. Łatwo też postawić hipotezę jakiejś funkcji czasu wyższego rzędu i stworzyć złożony model, który wydaje się być poprawny i przewidujący, który w rzeczywistości nie ma mocy predykcyjnej, ponieważ modelował migawkę losowości, a nie bazowy trend czasowy.

Krótko i słodko:

Parametry muszą być stałe. Jeśli szereg nie jest stacjonarny, to parametry, które szacujesz, same będą funkcjami czasu. Ale model zakłada, że ​​są to stałe, jako takie oszacujesz średnią wartość parametru w okresie czasu. Zobacz odpowiedź Skandera, dlaczego, nie będę zagłębiać się w matematykę, ponieważ on już to zrobił.

To stwarza co najmniej 2 problemy:

1. Twoje szacunki dotyczące prawdziwej wartości parametru są prawdopodobnie błędne, ponieważ w dowolnym momencie wartość parametru może różnić się od jego średniej wartości. Dlatego wszelkie wnioski wyciągnięte na podstawie danych są prawdopodobnie błędne. Prowadzi to do fałszywych regresji / korelacji.
2. Nie można używać modelu do przewidywania przyszłości. Ponieważ twój parametr jest teraz funkcją czasu i nie wiesz, jak ewoluuje w czasie, każda prognoza, którą tworzysz, jest kompletna (przepraszam za mój francuski) bzdura.

Osiągnięcie stacjonarności jest właściwie dość łatwe. Musimy tylko różnicować, dopóki nie będziemy mieli stacjonarnej serii. Więc po prostu zrób to.